awful はそれ自体で very bad や terrible の意味を持っています。一方で awfully は awful の持つ意味とはかけ離れて、very や extremely などの強調表現で使います。以下の例文を見てみましょう。
awful は形容詞、 awfully は副詞です。
(例文)
Nattou smells awful, but taste is awfully terrific.
納豆の匂いはとても悪いが、味は本当にすばらしい。
納豆を食べ慣れている日本人にはわかりませんが、納豆好きの外国人はきっとこのような感想を持たれると思います。例文の awful で匂いが特に酷いという意味になります。そして、味の説明をするときに形容詞で、terrific という素晴らしいの意味を持つ単語を awfully で強調表現しています。
僕はこの違いについてネイティブの先生から教えてもらい目からウロコでした。awful と awfully はその字体や発音で、同じような意味と捉えがちですが、全く意味が異なりますので覚えておきましょう。